12. PCA: fundamentos

A análise de componentes principais, ou PCA, constrói novos eixos para representar a variação linear dos dados. Ela pode reduzir dimensão e redundância, mas não escolhe automaticamente variáveis originais nem encontra causas. A interpretação exige entender centralização, combinações lineares e ortogonalidade. Este capítulo desenvolve esses fundamentos antes de discutir, no tópico seguinte, variância explicada, cargas, scores e reconstrução. A pergunta orientadora é qual informação a representação preserva e qual pode ser perdida.

A disciplina aprofunda situações em que não existe um rótulo pronto. Distâncias, agrupamentos, redução de dimensionalidade e métricas são estudados como partes de uma única investigação. Este é o capítulo 12 de 20 da disciplina Aprendizado Não Supervisionado e Avaliação de Agrupamentos. Ele retoma Misturas gaussianas e algoritmo EM e utiliza essa base para avançar. Na sequência, estudaremos PCA: variância, cargas e reconstrução.

O fio condutor

Ciência de Dados começa com uma pergunta e termina com uma decisão que precisa ser compreendida, avaliada e acompanhada. Entre esses dois pontos, dados são coletados, examinados e transformados; métodos são escolhidos; resultados são validados; e limitações são comunicadas. Nenhuma etapa compensa automaticamente uma falha grave ocorrida na etapa anterior.

Neste capítulo, use PCA: fundamentos para acompanhar três dimensões: o problema que se deseja resolver, a evidência disponível e o critério usado para avaliar o resultado. Essa separação ajuda a evitar soluções tecnicamente sofisticadas que não respondem à necessidade real.

PCA

Começamos por PCA, pois essa base organiza os conceitos e exemplos que aparecerão no restante do capítulo.

Análise de componentes principais projeta dados em direções ortogonais de máxima variância linear.

A primeira componente maximiza a variância das projeções dos dados centralizados sobre um eixo de comprimento unitário. As seguintes maximizam a variância restante sob restrição de ortogonalidade às anteriores. Isso pode ser obtido por autovetores da matriz de covariância ou por decomposição em valores singulares. Reduzir para r componentes mantém r combinações de atributos, e não r colunas originais. A operação favorece variação, que pode representar sinal, ruído, escala ou mistura de populações; sua relevância depende da finalidade.

Componente

Depois de compreender PCA, passamos a Componente. A nova seção acrescenta outra etapa ao mesmo raciocínio e mostra como as decisões anteriores influenciam as próximas.

Componente principal é combinação linear dos atributos com cargas próprias.