06. Autovalores e autovetores

Em geral, uma transformação muda comprimento e direção. Algumas direções especiais, porém, apenas são ampliadas, reduzidas ou invertidas. Essas direções são os autovetores.

Este é o capítulo 6 de 6 na trilha pedagógica de Álgebra Linear e Geometria Vetorial. Ele retoma Transformações lineares e usa essa base para avançar. Aqui a trilha reúne e aplica os conceitos construídos anteriormente.

Direções preservadas

Um vetor não nulo v é autovetor de A quando Av=λv. O número λ é o autovalor. Se λ é positivo, a direção se mantém; se negativo, também ocorre inversão de sentido; se zero, a direção é levada ao vetor zero.

Como encontrar autovalores

A equação Av=λv equivale a (A−λI)v=0. Para existir solução não nula, A−λI deve ser singular. Por isso resolvemos det(A−λI)=0, o polinômio característico.

Autoespaços

Para cada λ, os autovetores correspondentes, junto com o zero, formam o núcleo de A−λI: o autoespaço. A multiplicidade geométrica é sua dimensão; ela nunca supera a multiplicidade algébrica do autovalor no polinômio característico.

Diagonalização

A é diagonalizável quando existe uma base inteira de autovetores. Nesse caso A=PDP⁻¹, com os autovetores nas colunas de P e os autovalores na diagonal de D. Autovalores distintos fornecem autovetores independentes, mas repetição exige examinar os autoespaços.

Por que a forma diagonal ajuda