Álgebra Linear e Geometria Vetorial
05. Transformações lineares
Capítulo em formato de apostila sobre Transformações lineares, com progressão conceitual, fórmulas explicadas, exemplo desenvolvido, conexões e mapa mental.
Uma matriz deixa de ser apenas uma tabela quando percebemos que ela age sobre vetores. Transformações lineares descrevem ações que preservam a estrutura de soma e escala.
Este é o capítulo 5 de 6 na trilha pedagógica de Álgebra Linear e Geometria Vetorial. Ele retoma Normas L1 e L2 e usa essa base para avançar. Ao final, o caminho segue para Autovalores e autovetores.
A regra de linearidade
Uma transformação T é linear quando T(u+v)=T(u)+T(v) e T(cu)=cT(u). As duas propriedades podem ser reunidas em T(au+bv)=aT(u)+bT(v). Delas segue T(0)=0, um teste rápido que exclui translações não nulas.
Matriz como representação
Em espaços de dimensão finita e bases escolhidas, toda transformação linear pode ser representada por uma matriz A, de modo que T(x)=Ax. As colunas de A são as imagens dos vetores da base do domínio.
Núcleo e imagem
O núcleo reúne vetores enviados a zero e revela direções perdidas. A imagem reúne todos os resultados alcançáveis. Ambos são subespaços. O teorema posto-nulidade liga suas dimensões à dimensão do domínio.
Composição e mudança de base
Compor transformações corresponde a multiplicar suas matrizes na ordem adequada. A matriz depende das bases escolhidas, enquanto a transformação abstrata permanece a mesma. Mudar a base muda as coordenadas usadas para descrever a ação.
Linear e afim
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Fontes consultadas
- Gilbert Strang — Álgebra Linear e Suas Aplicações.
- MIT OpenCourseWare — Linear Algebra: https://ocw.mit.edu/courses/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/
- Gilbert Strang, Álgebra Linear e Suas Aplicações, vetores.
- Acervo publicado: 80 questões integralmente cobertas.