06. Máximos e mínimos

Otimizar significa escolher, entre alternativas permitidas, aquela que maximiza um benefício ou minimiza um custo. A derivada encontra candidatos; o domínio e a comparação decidem o resultado.

Este é o capítulo 6 de 6 na trilha pedagógica de Cálculo, Funções e Otimização. Ele retoma Derivadas parciais e otimização e usa essa base para avançar. Aqui a trilha reúne e aplica os conceitos construídos anteriormente.

Local e global

Um máximo local supera pontos próximos; um máximo global supera todos os pontos do domínio. A mesma distinção vale para mínimos. Um ponto pode ser ótimo local sem ser a melhor solução do problema inteiro.

Encontrar candidatos

Em uma variável, candidatos internos incluem pontos com f′=0 e pontos onde a derivada não existe. Em intervalo fechado, acrescentam-se as extremidades. O teorema do valor extremo garante existência para função contínua em conjunto compacto.

Classificar por sinais

Se f′ muda de positivo para negativo, há máximo local; de negativo para positivo, mínimo local. O teste da segunda derivada usa concavidade: f″>0 sugere mínimo e f″<0, máximo. Se f″=0, o teste não decide.

Várias variáveis

O gradiente zero identifica candidatos interiores diferenciáveis. A Hessiana ajuda a classificá-los. Em domínios com restrições, a fronteira deve ser analisada separadamente, por parametrização ou métodos como multiplicadores de Lagrange.

Convexidade e decisão

Problemas convexos são especialmente importantes porque um mínimo local é global. Ainda assim, a solução precisa ser viável e interpretável. Unidades, restrições e sensibilidade dos parâmetros fazem parte da resposta aplicada.

Fórmulas com significado