05. Derivadas parciais e otimização

Quando uma saída depende de preço, quantidade, tempo e outras variáveis, não há uma única direção de mudança. Derivadas parciais separam os efeitos; gradiente e Hessiana os reúnem para orientar a otimização.

Este é o capítulo 5 de 6 na trilha pedagógica de Cálculo, Funções e Otimização. Ele retoma Integrais e usa essa base para avançar. Ao final, o caminho segue para Máximos e mínimos.

Variar uma coordenada de cada vez

A derivada parcial em relação a x varia x enquanto mantém as demais coordenadas constantes. Para f(x,y)=x²y, ∂f/∂x=2xy e ∂f/∂y=x². A interpretação depende das unidades e das coordenadas escolhidas.

Gradiente e direção

O gradiente reúne todas as derivadas parciais. Sob a norma euclidiana, ele aponta a direção de maior crescimento local. O produto do gradiente por um vetor unitário fornece a derivada direcional naquela direção.

Pontos críticos

Em um ponto crítico interior de uma função diferenciável, o gradiente é zero. Isso torna o ponto candidato, não resposta final: ele pode ser mínimo, máximo ou sela. Fronteiras e pontos sem diferenciabilidade também precisam ser examinados.

Hessiana e curvatura

A Hessiana reúne derivadas de segunda ordem. Em um ponto crítico, ser definida positiva indica mínimo local e definida negativa indica máximo local; sinais mistos indicam sela. Casos semidefinidos podem exigir análise adicional.

Convexidade muda a garantia

Em uma função convexa diferenciável, todo mínimo local é global. Convexidade estrita favorece unicidade. Essas garantias dependem do domínio e das hipóteses; uma Hessiana positiva apenas em um ponto não prova convexidade global.

Fórmulas com significado