06. Distribuições multidimensionais e matriz de covariância

Muitos fenômenos produzem várias medidas ao mesmo tempo. Um vetor aleatório descreve essas medidas conjuntamente; a matriz de covariância resume suas escalas e associações lineares.

Este é o capítulo 6 de 6 na trilha pedagógica de Probabilidade e Variáveis Aleatórias. Ele retoma Distribuições contínuas e usa essa base para avançar. Aqui a trilha reúne e aplica os conceitos construídos anteriormente.

Vetor aleatório

X=(X₁,…,Xₚ) reúne variáveis definidas no mesmo experimento. A distribuição conjunta informa como combinações ocorrem; distribuições marginais descrevem uma componente; condicionais descrevem uma componente após observar outra.

Matriz de covariância

Σ tem variâncias na diagonal e covariâncias fora dela. É simétrica porque Cov(Xᵢ,Xⱼ)=Cov(Xⱼ,Xᵢ). Para qualquer vetor a, aᵀΣa=Var(aᵀX)≥0, portanto Σ é semidefinida positiva.

Singularidade

A matriz pode ser singular quando existe combinação linear determinística entre componentes. Isso significa que alguma direção tem variância zero e que há informação redundante.

Normal multivariada

A normal multivariada é determinada por vetor de médias e matriz de covariância válida. Nesse caso especial, covariâncias nulas entre componentes implicam independência. Fora da normal conjunta, essa implicação geralmente falha.

Transformações lineares

Se Y=AX+b, então E(Y)=AE(X)+b e Cov(Y)=AΣAᵀ. A fórmula mostra como escalas e associações mudam quando combinamos variáveis.