04. Normas L1 e L2

Quando perguntamos quão grande é um vetor ou quão distante está um ponto de outro, precisamos escolher uma régua. As normas L1 e L2 são duas réguas legítimas, com geometrias e efeitos diferentes.

Este é o capítulo 4 de 6 na trilha pedagógica de Álgebra Linear e Geometria Vetorial. Ele retoma Produto escalar e produto vetorial e usa essa base para avançar. Ao final, o caminho segue para Transformações lineares.

O que uma norma precisa cumprir

Uma norma atribui comprimento não negativo, vale zero apenas no vetor zero, responde proporcionalmente à multiplicação por escalar e satisfaz a desigualdade triangular. Essas propriedades permitem transformar comprimento em distância por d(x,y)=||x−y||.

A norma L1 soma deslocamentos

A norma L1 soma os valores absolutos das componentes. Ela lembra deslocamentos em uma cidade de ruas ortogonais: para sair de um ponto e chegar a outro, somam-se os trechos percorridos em cada eixo.

A norma L2 mede a linha reta

A norma L2 é a distância euclidiana: raiz da soma dos quadrados. Ela resulta do teorema de Pitágoras e corresponde ao comprimento usual de uma seta no plano ou no espaço.

Geometrias diferentes

Os pontos de norma L1 igual a 1 formam um losango em R²; os de norma L2 igual a 1 formam um círculo. Assim, vetores podem trocar de ordem de proximidade conforme a norma. Em dimensão finita, as normas são equivalentes em sentido topológico, mas seus valores não são iguais.

Regularização e robustez

Em otimização, penalização L1 tende a favorecer coeficientes exatamente zero, enquanto L2 os encolhe de maneira suave. Essa consequência vem da geometria das penalizações. A escolha deve refletir objetivo, escala das variáveis e interpretação desejada.