03. Produto escalar e produto vetorial

Dois vetores podem ser comparados por alinhamento ou combinados para produzir uma direção perpendicular. O produto escalar mede a primeira ideia; o produto vetorial, em três dimensões, realiza a segunda.

Este é o capítulo 3 de 6 na trilha pedagógica de Álgebra Linear e Geometria Vetorial. Ele retoma Matrizes identidade, inversa e transposta e usa essa base para avançar. Ao final, o caminho segue para Normas L1 e L2.

Produto escalar mede alinhamento

No produto escalar euclidiano, multiplicamos componentes correspondentes e somamos. O resultado é um número. Valor positivo indica tendência de mesma direção; negativo, direções opostas; zero, para vetores não nulos, indica ortogonalidade.

Ângulo e projeção

A relação u·v=||u||||v||cosθ conecta a conta ao ângulo. A projeção de u sobre v mede quanto de u aponta na direção de v. Essa interpretação aparece em geometria, decomposição de forças e medidas de similaridade.

Produto vetorial cria uma perpendicular

Em R³, u×v produz um vetor perpendicular a u e v. Seu comprimento é ||u||||v||senθ, igual à área do paralelogramo formado pelos vetores. A regra da mão direita determina a orientação.

A ordem altera o sinal

O produto vetorial é anticomutativo: u×v=−(v×u). Vetores paralelos produzem vetor zero porque a área do paralelogramo é zero. O produto vetorial usual não deve ser estendido sem cuidado a dimensões arbitrárias.

Escolher a operação pelo resultado