03. Derivadas

A velocidade média descreve um intervalo; a derivada captura o que acontece em um instante. Ela nasce de um limite e transforma variação em uma medida local.

Este é o capítulo 3 de 6 na trilha pedagógica de Cálculo, Funções e Otimização. Ele retoma Limites e usa essa base para avançar. Ao final, o caminho segue para Integrais.

Do quociente médio à taxa instantânea

O quociente [f(x+h)−f(x)]/h mede variação média. Fazer h tender a zero produz f′(x), quando o limite existe. Geometricamente, a inclinação da secante se aproxima da inclinação da reta tangente.

Derivabilidade e continuidade

Se uma função é derivável em um ponto, ela é contínua ali. A recíproca não vale: |x| é contínua em zero, mas possui inclinações laterais diferentes e não é derivável nesse ponto.

Regras básicas

Constantes derivam para zero; potências seguem nxⁿ⁻¹; soma deriva termo a termo. Produtos exigem f′g+fg′ e quocientes exigem a regra correspondente. As regras organizam limites já justificados.

Regra da cadeia

Quando uma função está dentro de outra, deriva-se a camada externa e multiplica-se pela derivada da interna. Em composições com várias camadas, o processo se repete de fora para dentro.

Sinais e concavidade

f′ positiva indica crescimento local; negativa, decrescimento. Pontos críticos são candidatos a extremos, junto com fronteiras e pontos não deriváveis. A segunda derivada descreve concavidade e ajuda a classificar candidatos, mas pode ser inconclusiva.

Fórmulas com significado