04. Integrais

A derivada pergunta quão rápido uma quantidade muda; a integral recompõe o efeito acumulado dessa mudança. As duas ideias se encontram no Teorema Fundamental do Cálculo.

Este é o capítulo 4 de 6 na trilha pedagógica de Cálculo, Funções e Otimização. Ele retoma Derivadas e usa essa base para avançar. Ao final, o caminho segue para Derivadas parciais e otimização.

Acumulação por pequenas parcelas

Uma soma de Riemann divide o intervalo, avalia a função em pequenos trechos e soma produtos altura vezes largura. No limite, obtemos a integral definida. Ela representa acumulação líquida: trechos abaixo do eixo contribuem negativamente.

Primitivas e constante

Uma primitiva F de f satisfaz F′=f. A integral indefinida representa a família F+C, porque derivar uma constante produz zero. Uma condição inicial pode determinar C.

Teorema Fundamental

Se F′=f sob condições adequadas, então ∫ₐᵇf(x)dx=F(b)−F(a). O teorema permite trocar um limite de somas pelo cálculo de uma primitiva e mostra que derivação e integração são processos inversos em sentido preciso.

Área e acumulação líquida

Quando f é não negativa, a integral coincide com a área sob o gráfico. Se há mudança de sinal, a integral subtrai áreas. Para área geométrica total, é preciso integrar |f| ou dividir o intervalo nos pontos de troca de sinal.

Mais de uma variável

Integrais duplas e triplas acumulam sobre regiões e volumes. Podem calcular massa, probabilidade e valores médios. Trocar a ordem de integração exige redescrever corretamente a região e respeitar as condições do teorema usado.