07. Estimação por máxima verossimilhança

Se diferentes valores de um parâmetro tornam os dados mais ou menos plausíveis, podemos escolher aquele que melhor sustenta o que foi observado. Essa é a ideia da máxima verossimilhança.

Este é o capítulo 7 de 8 na trilha pedagógica de Estatística Descritiva e Inferencial. Ele retoma Testes de hipóteses e usa essa base para avançar. Ao final, o caminho segue para Inferência bayesiana.

Dados fixos, parâmetro variável

Na verossimilhança, tratamos a amostra observada como fixa e vemos a expressão do modelo como função de θ. Ela compara suporte relativo entre valores do parâmetro; não é, em geral, uma distribuição de probabilidade normalizada sobre θ.

Produto e logaritmo

Para observações independentes, a verossimilhança é produto das contribuições individuais. O log transforma produtos em somas e preserva o ponto de máximo, facilitando derivação e estabilidade numérica.

Encontrar o máximo

Derivar a log-verossimilhança e igualar a zero fornece candidatos interiores. É preciso conferir segunda derivada, fronteiras e possibilidade de múltiplos máximos. Nem todo modelo tem máximo único ou regular.

Exemplo Bernoulli

Para n ensaios iid com soma de sucessos s, L(p)=pˢ(1−p)ⁿ⁻ˢ. Maximizar resulta p̂=s/n. Se todos os resultados são falhas ou sucessos, o máximo ocorre na fronteira 0 ou 1.

Propriedades e cautelas

Sob condições de regularidade, MLE costuma ser consistente e assintoticamente normal. A invariância permite estimar g(θ) por g(θ̂) em condições apropriadas. Amostras pequenas e modelos irregulares podem se afastar dessas garantias.