02. Probabilidade condicional, independência e Bayes

Uma informação nova muda o universo relevante. Probabilidade condicional formaliza essa mudança; independência descreve quando ela não altera a chance; Bayes permite inverter a direção da condição.

Este é o capítulo 2 de 6 na trilha pedagógica de Probabilidade e Variáveis Aleatórias. Ele retoma Fundamentos e modelos de probabilidade e usa essa base para avançar. Ao final, o caminho segue para Variáveis aleatórias, momentos e covariância.

Restringir o espaço

P(A|B)=P(A∩B)/P(B), para P(B)>0. Ao saber que B ocorreu, passamos a olhar apenas os casos dentro de B. O denominador muda porque o novo universo é B.

Regra do produto

Rearranjando a definição, P(A∩B)=P(A|B)P(B). Em processos sequenciais, multiplicamos probabilidades ao longo de um ramo. A regra vale sem supor independência.

Independência

A e B são independentes quando P(A∩B)=P(A)P(B). Nesse caso, conhecer B não altera P(A). Eventos disjuntos com probabilidades positivas são dependentes: a ocorrência de um impede a do outro.

Probabilidade total

Se B₁,…,Bₙ formam uma partição, decompomos A em ramos disjuntos: P(A)=ΣP(A|Bᵢ)P(Bᵢ). Árvores ajudam a visualizar a multiplicação em cada ramo e a soma entre ramos.

Bayes e taxa-base

Bayes calcula P(Bᵢ|A) a partir de P(A|Bᵢ), da prevalência P(Bᵢ) e da probabilidade total de A. Em testes para eventos raros, ignorar a taxa-base superestima drasticamente uma conclusão positiva.

Fórmulas com significado