03. Variáveis aleatórias, momentos e covariância

Um experimento produz resultados; uma variável aleatória transforma cada resultado em um número que podemos resumir e modelar.

Este é o capítulo 3 de 6 na trilha pedagógica de Probabilidade e Variáveis Aleatórias. Ele retoma Probabilidade condicional, independência e Bayes e usa essa base para avançar. Ao final, o caminho segue para Distribuições discretas.

Do resultado ao número

Uma variável aleatória X é uma função do espaço amostral para os reais. Resultados diferentes podem gerar o mesmo valor. Contagem de clientes é tipicamente discreta; tempo de espera costuma ser modelado como contínuo.

Distribuição

A distribuição atribui probabilidades aos valores ou intervalos de X. Para variável discreta usamos massa p(x); para contínua, densidade e áreas. A função acumulada F(x)=P(X≤x) existe nos dois casos.

Esperança

E(X) é média ponderada pelos valores possíveis ou integral contra a densidade. Ela representa centro de longo prazo do modelo. A linearidade E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c não exige independência.

Variância

Var(X)=E[(X−E(X))²]=E(X²)−E(X)². Transladar não muda variância; multiplicar por a a multiplica por a². O desvio-padrão retorna à unidade original.

Covariância

Cov(X,Y) mede associação linear conjunta e depende das escalas. Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y). Independência com momentos finitos implica covariância zero, mas covariância zero geralmente não implica independência.

Fórmulas com significado